Bewijs (Met verloopsinductie): We willen aantonen dat Bert kan winnen als Anneke aanvangs een stapeltje van Fn (voor zekere n) filtjes voor zich heeft liggen.
Hier moet n minstens 3 zijn, want voor n=1 of n=2 is er sprake van een stapeltje van 1 bierfiltje. En met 1 bierfiltje zijn de gestelde eisen tegenstrijdig, want Anneke mag bij haar eerste beurt niet alle
filtjes pakken en tegelijkertijd moet ze minstens 1 filtje pakken.
We maken het ons eenvoudiger als we met inductie de volgende sterkere bewering willen bewijzen:
Bewering: Bert kan winnen als Anneke aanvangs een stapeltje van Fn (voor zekere n) filtjes voor zich heeft liggen.
Bert neemt daarbij in zijn winnende (= laatste) beurt Fn-1 of minder filtjes.
De bewering is juist voor n=3 en voor n=4, want:
Voor n=3 zijn er 2 filtjes. Daarvan moet Anneke er 1 nemen en vervolgens neemt Bert er ook 1
(=Fn-1) en Bert wint.
Voor n=4 zijn er 3 filtjes. Dan kan Anneke er 1 van nemen en Bert 2(=Fn-1) of Anneke 2 en Bert 1(<Fn-1). In beide gevallen wint Bert.
Kortom de bewering is juist voor n=3 en voor n=4.
Veronderstel dat we reeds hebben aangetoond dat de bewering juist is voor alle n<N. Dan willen we nu aantonen dat de bewering ook juist is voor n=N.
We weten dat FN = FN-1 + FN-2.
We verdelen (in gedachte) de stapel in twee delen. Op het onderste gedeelte van FN-1 filtjes liggen
FN-2 filtjes. Daar Bert altijd kan winnen met een stapel van FN-2 filtjes (volgens de inductiehypothese), kan
hij er voor zorgen dat er na een aantal zetten (met laatste zet van minder dan FN-3 filtjes) nog FN-1 filtjes overblijven
(tenzij Anneke bij haar eerste zet FN-2 of meer filtjes pakt, maar dan wint Bert door alle overige filtjes weg te halen;
Bert's winnende zet bestaat dan uit minder dan FN-1 filtjes).
Wat de eerste zet van Anneke daarna ook is, Bert zal winnen, want Bert kan altijd winnen bij een stapeltje van FN-1 filtjes (volgens hypothese),
en Anneke mag niet alle filtjes nemen, want 2*FN-3 < FN-1 (ga maar na).