Fibonacci

Numerische Methoden zur Bestimmung der Wurzeln von Polynomen. (3. Teil)

Die Approximanten der goldenen Ratio

sind : F₂/F₁, F₃/F₂, F₄/F₃, F₅/F₄, ... .
Es stellt sich heraus dass von allen Kettenbrüchen die Approximanten der goldenen Ratio am langsamsten konvergieren.
{{Anhand dieser Eigenschaft kann man das häufige Auftreten in der Natur der Fibonaccizahlen erklären (Sonnenblumen, Pflanzenstengel, usw.).}}
Wir zeichnen jetzt eine grafische Darstellung dieser Approximanten, wobei die Appoximante F_n+1/F_n durch den Punkt (F_n,F_n+1) dargestellt wird.
In der grafischen Darstellung zeichnen wir auch eine Linie durch den Ursprung (0,0) und den Punkt (1,x). (die goldene Ratio x = (1 + 5)/2 ).

{{Wenn wir die Durchsneidungen der Linie durch (0,0) und (1,x) mit den waagerechten Gitterlinien andeuten mit einer 1 und mit den senkrechten Gitterlinien mit einer 0, dann bekommen wir ab (0,0) die bekannte Zahlenfolge 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 ... .}}

Wir betrachten nun die grafische Darstellung als eine Oberansicht. Die Gitterpunkte sind Stäbe und die gezeichnete Linie durch den Ursprung besteht in Wirklichkeit aus 2 zusammenfallenden Bänden.
Wir ziehen nun eines der Bände prall und nach links so dass es gegen den Stab (1,2) gezogen wird. Das andere Band ziehen wir nach rechts gegen Stab (1,1).
Die zwei Bände werden dann nur die rot gefärbten Stäbe berühren.
Wir werden das wie folgt interpreteren: Von allen Brüchen berechnen annähernd die Approximanten der irrationalen Zahl diese irrationale Zahl am Besten.
Bemerke (uns das gilt im Allgemeinen) dass die Approximanten wechselweise links und rechts der rechten Linie liegen.
Diese Eigenschaften der Approximanten werden im nächsten berühmten Satz benutzt:
Wenn x eine irrationale Zahl ist, dann gibt es unendlich viele Brüche a/b so dass |x - a/b| <1/(5 b²) (Beweis).
Mit diesem Satz kann man oft zeigen dass eine Zahl irrational ist (Beispiel).
Man kann beweisen dass immer eine von drei aufeinanderfolgenden Approximanten den Anforderungen genügt.
In diesem Satz sieht man die Zahl 5. Diese Zahl kann man nicht durch eine größere Zahl ersetzen, denn dann ist der Satz falsch für x = (1 + 5)/2 (die goldene Ratio) (Beweis).
Wenn wir nun die goldene Ratio und verwandte Zahlen außer Betracht lassen, dann gilt:
Es gibt unendlich viele Brüche a/b so dass |x - a/b| <1/(8 b²).
Auch hier dürfen wir 8 nicht ohne weiteres durch eine größere Zahl ersetzen. Die Übeltäter sind jetzt 1 + 2 (Beweis) und damit verwandte Zahlen.
Wir können so weiter gehen. Es zeigt sich, dass die Wurzeln im Nenner die Form (9 - 4/n²) haben, wobei n nicht jede ganze Zahl sein kann; n muß nähmlich eine der Zahlen der nächsten (unendlichen) Figur sein.

(N.B. die Zahlen (9 - 4/n²) sind alle kleiner als 3. Danach folgen noch unendlich viele Zahlen größer als 3).
Die Zahlen um einen Dreiweg herum sind die x,y,z Lösungen in positiven ganzen Zahlen der Gleichung x² + y² + z² = 3 xyz.
Die Zahlen ringsum das Gebiet mit Zahl 1 sind die Fibonaccizahlen mit ungeradem Index.
Es gilt die nächste Eigenschaft: Die Summe der Zahlen an den Enden einer Linie ist gleich 3 Mal das Produkt der Zahlen an beiden Seiten jener Linie. Z.B. 2+13 = 3*1*5 und 5+37666 = 3*29*433.