Fibonacci

Quadrate in der Fibonaccifolge

F₁ = F₂ = 1 und F₁₂ = 144 sind Quadrate. Gibt es noch mehr Quadrate in der Fibonaccifolge, und wie beweist man das? Mit diesen Fragen werden wir uns jetzt beschäftigen

Eine positive ganze Zahl n ist immer entweder gerade, oder ungerade, also n = 2k oder n = 2k-1 für eine gewisse natürliche Zahl k. Dann ist n² = 4k² oder n² = 4k²-4k+1. Also, wenn wir n² durch 4 dividieren, dann ist der Rest 0 oder 1. Offenbar kann ein Quadrat nie den Rest 2 oder 3 erzeugen wenn wir es durch 4 dividieren.
Wir können auch jede Fibonaccizahl durch 4 dividieren. Das ergibt die Reste:
1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 0, ...
Das Muster 1, 1, 2, 3, 1, 0 wiederholt sich. (Fußnote)
Wir können hieraus folgern dass alle Fibonaccizahlen F_6k-3 und F_6k-2 nicht quadratisch sein können, denn solche Fibonaccizahlen ergeben den Rest 2 oder 3 wenn wir sie durch 4 dividieren.
Jede natürliche Zahl n kann man auch darstellen als 3k, 3k-1 oder 3k-2. Das Quadrat n² hat dann die Form 9k² oder 9k²-6k+1 oder 9k²-12k+4. Also gilt, wenn ein Quadrat durch 3 dividiert wird, dann kann der Rest nie 2 sein. Die Fibonaccizahlen erzeugen bei Division durch 3 die Reste:
1 1 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0 2 2 1 0 1 1 ...
Der repetierende Teil ist 1 1 2 0 2 2 1 0. Die Fibonaccizahlen F_8k-5 oder F_8k-3 oder F_8k-2 können also keine Quadrate sein.
Wir machen auf diese Weise weiter. Jede natürliche Zahl n hat die Form 4k, 4k-1, 4k-2 oder 4k-3. Das Quadrat n² ergibt die Reste 0, 1 oder 4 wenn wir sie durch 8 dividieren.
Die Reste der Fibonaccizahlen bei Division durch 8 sind:
1 1 2 3 5 0 5 5 2 7 1 0 1 1 2 3 5 0 5 5 2 7 1 0 1 1 2 3 5 0 5 5 2 7 1 0 1 1 ...
Der wiederholende Teil ist 1 1 2 3 5 0 5 5 2 7 1 0. Wenn wir diese Resultate vergleichen können wir folgern dass nur die Fibonaccizahlen F_12k-11, F_12k-10, F_12k-6, F_12k-1 en F_12k quadratisch sein können.
Dieses Resultat ist vielversprechend, aber es wird immer schwieriger dieses Resultat zu verbessern. Eine kleine verbesserung wird noch erreicht wenn wir n ausdrücken als 8-fach plus Rest. Das Quadrat von n liefert dann, wenn wir es durch 16 dividieren, als Rest 0, 1, 4 oder 9. Die zugehörigen Fibonaccireste sind:
1 1 2 3 5 8 13 5 2 7 9 0 9 9 2 11 13 8 5 13 2 15 1 0 1 1 ...
mit repetierendem Teil 1 1 2 3 5 8 13 5 2 7 9 0 9 9 2 11 13 8 5 13 2 15 1 0. Also, die etwaigen quadratischen Fibonaccizahlen haben als Index 24k-23, 24k-22, 24k-13, 24k-12, 24k-11, 24k-10, 24k-1 oder 24k. Diese Reihe kann folgendermaßen zusammengefasst werden 12k-11, 12k-10, 12k-1 oder 12k.