Fibonacci

Quadrate in der Fibonaccifolge (Schluß)

Es bleiben noch übrig die Fibonaccizahlen der Form F_12k. Davon können wir rasch die Zahlen mit ungeradem k ausschließen, denn mit Hilfe der vorhergehenden Methode ist es uns sofort klar dass F_24p+12 und -F₁₂ (= -144) den gleichen Rest erzeugen, wenn man sie durch L_2^r dividiert (mit 24p+12 = 12k+q = 2^r+1(2t+1)+q und k=2p, q=12 und r>1).
Das bedeutet, dass aus F_24p+12 = x² folgt dass L_2^r die Zahl x²+144 teilt.
Fü jedes p gilt dass 144 ein Teiler ist von F_24p+12( Beweis ). Also, wenn F_24p+12 ein Quadrat ist, dann gibt es ein y so, dass F_24p+12 = (12y)².
Und da L_2^r immer ungerade ist (immer von der Form 4p+3), ist L_2^r ein Teiler von y²+1, und das ist, wie wir schon wissen, unmöglich.
Man kann F_24p+12 auch nicht in der Form 2x² schreiben, denn das würde bedeuten dass F_24p+12 nicht nur durch 144 geteilt werden kann, sondern sogar durch 288. Das ist nie der Fall ( Beweis ). Zum Schluß zeigen wir dass es in der Fibonaccifolge keine Quadrate gibt mit Index größer als 12.

Es sei S = { m>1 | F_12m ist ein Quadrat oder 2 Mal ein Quadrat}. Wir beweisen dass diese Menge leer ist, indem wir zeigen dass S kein kleinstes Element enthält. Nehmen wir mal an, M wäre das kleinste Element. Dann ist M sowieso gerade, und da F₂₄ = 144*322 ist M>3. Nun ist F_12M = F_6ML_6M. F_6M und L_6M haben höchstens einen Faktor 2 gemeinsam, wie z.B. sofort deutlich wird aus der allgemeinen Formel
L_n² = 5F_n² + 4(-1)ⁿ.
Da F_12M ein Quadrat ist oder 2 Mal ein Quadrat, gilt dies auch für F_6M.
M ist gerade und M>3, also ist M/2 ein Element von S, was unmöglich ist. (Dieser Beweis ist nach J.H.E. Cohn)