Fibonacci

Verdrehte Brüche.

Im Kapitel Numerische Anwendung Fibonacci haben wir gezeigt dass es für die positive Nullstelle der Gleichung x² - x - 1 = 0 zwei bemerkenswerte Darstellungen gibt, nämlich:


x = (1 + (1 + (1 + ...)))

und


Es sind die einfachsten Kettenformen in ihrer Art.
Oben stehende Kettenformen suggerieren dass diese x = (1 + 5)/2 gewissermaßen die 'einfachste' irrationale Zahl ist, das heißt die 'einfachste' Zahl ist die nicht in der Form eines Bruches geschrieben werden kann. Wir werden jetzt für diese Behauptung eine weitere Bestätigung finden.
Es ist üblich diese Zahl x, genannt der goldene Schnitt, mit dem griechischen Buchstaben φ wiederzugeben. Die Brüche F_n+1/F_n näheren sich φ an, wenn n ins Unendliche wächst. (Siehe: Numerische Anwendung Fibonacci)

In den nächsten steigenden Reihen der (vereinfachten) Brüche zwischen 0 und 1 zeigt die i-te Reihe alle Brüche mit einem Nenner kleiner als oder gleich i.
0 1
0 1/2 1
0 1/3 1/2 2/3 1
0 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1
0 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1
usw.
Diese Reihen heißen Fareyreihen. Sie zeigen bemerkenswerte Eigenschaften. Zum Beispiel: Wenn a/b und c/d Nachbarn in einer Fareyreihe sind, dann ist a*d - b*c = -1. Der nächste Bruch der zwischen a/b und c/d eingefügt wird ist (a+c)/(b+d).(Eine Anwendung)
Jedesmal wenn wir eine neue Fareyreihe konstruieren, werden wir eine alternative Reihe konstruieren. In dem Moment wo zwischen a/b und c/d ein Bruch (a+c)/(b+d) eingefügt wird, wird auch in die alternative Reihe ein Bruch eingefügt. Der Wert dieses Bruches ist der mittlere Wert seiner Nachbarn.
Also für die ersten vier Reihen gilt:
0 1  ---  0 1/2 1  ---  0 1/3 1/2 2/3 1  ---  0 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1
0 1  ---  0 1/2 1  ---  0 1/4 1/2 3/4 1  ---  0 1/8 1/4 1/2 3/4 7/8 1
und für die fünfte Reihe:
0 1/5  1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4   4/5  1
0 1/16 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 15/16 1
Die einfachsten Brüche die nicht in alternativen Reihen auftreten sind die Brüche mit Nenner 3. Die Zahlen die nicht in Fareyreihen auftreten sind die irrationalen Zahlen (die Nicht-Brüche). Die Brüche 1/3 und 2/3 werden also übereinstimmen mit den einfachsten irrationalen Zahlen.
Die Zahlen F_2n/F_2n+1 aus den Fareyreihen stimmen mit den Zahlen 1/2 + 1/8 + ... + 1/2^2n-1 aus den alternativen Reihen überein (Siehe unten für einen Beweis). Wenn wir den Limes betrachten sehen wir dass 1/φ (= φ-1) mit 2/3 übereinstimmt. So auch 2-φ mit 1/3 und (wenn wir ons nicht auf das Interval [0,1] beschränken), φ mit 5/3.
Wohlbemerkt: Der Bruch 1/5 stimmt mit 1-(2)/2 überein.

Es bleibt uns noch übrig zu beweisen dass F_2m/F_2m+1 mit 1/2 + 1/8 + ... + 1/2^2m-1 übereinstimmt. (Beweis)