Fibonacci

Mandelbrot und Fibonacci

We betrachten eine Folge Punkte in der Ebene (x₀,y₀), (x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃),... definiert durch


x0 = 0, y0 = 0 und (für n>=0) xn+1 = xn2 - yn2 - 0.1 und yn+1 = 2xnyn - 0.75 Die ersten Glieder dieser Zahlenfolge sehen folgendermaßen aus: (0.0000,0.0000), (-0.1000,-0.7500), (-0.6525,-0.6000), (-0.3424,0.0330), (-0.0999,-0.7532), (-0.6599,-0.5997), (-0.2939,0.3667), (-0.1005,-0.7522), (-0.6556,-0.5988), (-0.2875,0.3526), (-0.1004,-0.7520), (-0.6555,-0.5990), (-0.2913,0.3520), (-0.1004,-0.7521), (-0.6555,-0.5990), (-0.2912,0.3530), (-0.1004,-0.7521), (-0.6555,-0.5990), ...

Geometrisch von (xn,yn) nach (xn+1,yn+1)


Dies ist ein Spezialfall (nähmlich mit a = -0.1 und b = -0.75) der allgemeineren Vorschrift:
x₀ = 0, y₀ = 0 und (für n>=0)
x_n+1 = x_n² - y_n² + a und
y_n+1 = 2x_ny_n + b
Im Fall a = -0.1 und b = -0.75 bemerken wir dass die Punktfolge in der Ebene innerhalb eines Kreises (mit Radius 1 oder 2 oder etwa 10) des Ursprungs (0,0) bleibt.
Wenn wir die letztgenannte Vorschrift mit z.B. a = 2 und b = 0 anwenden, dann bekommen wir die Punktfolge (0,0), (2,0), (6,0), (38,0), (1446,0), (2090918,0), ...
Es is überdeutlich dass diese Punktfolge ins Unendliche davonläuft.
Die Menge Zahlenpaare (a,b) wobei die Reihe (x₀,y₀), (x₁,y₁),(x₂,y₂), ... nicht ins Unendliche davonläuft heißt die Mandelbrotmenge.
Betrachten wir das Zahlenpaar (a,b) als ein Punkt in der Ebene, dann können wir die Mandelbrotmenge zeichnen (das schwarze Gebied im linken Bild).



(a,b) Werte           = reset	(xn,yn) Werte


Die Mandelbrotmenge ist unglaublich komplex. Sie enthält ein großes nierenförmiges Gebiet. Am Rande dieses Gebietes gibt es unendlich viele kreisförmigen Gebiete mit sonderbaren Tentakeln. Die kreisförmigen Gebiete enthalten selbst auch sehr komplexe Ränder. Einige Ausschnittsvergrößerungen irgendwo am Rande macht das deutlich. Manchmal sieht man auch das ursprungliche Bild wiederkehren.
Wenn man mit der Maustaste auf das Bild klickt, wird das Bild mit Faktor 2 vergrößert (Was bedeuten die Farben?).

Sie werden schon bemerkt haben, dass die Punktfolge womit wir diese Geschichte angefangen haben nicht nur innerhalb eines Kreises mit Radius 2 liegt, sondern dass sie auch gegen 3 verschiedenen Punkte in der Ebene strebt. Es stellt sich heraus, dass (obwohl bis jetzt noch niemand das hat beweisen können) eine begrenzte Folge immer gegen 1,2,3 oder mehr Punkte strebt. Für (a,b)-Werte aus dem großen nierenförmigen Gebiet gilt, dass die zugehörige Folge gegen genau einen Punkt strebt. Das hilft uns um den Rand des Gebietes zu bestimmen.


Bestimmung der Gleichung des großen nierenförmigen Gebietes.

Es sei (x_n,y_n) eine gegen (x,y) strebende Folge. Dann stebt offenbar (x_n+1,y_n+1) auch gegen (x,y). Dann erzählen uns die Gleichungen x_n+1 = x_n² - y_n² + a und y_n+1 = 2x_ny_n + b im Limesfall dass
x = x² - y² + a und y = 2xy + b. Überdies gilt dass innerhalb des nierenförmigen Gebietes die Punktreihe zu einem Punkt "hingezogen" wird und nicht von diesem Punkt äbgestoßen wird. Das hat zur Folge dass für einen Randpunkt die Reihe (x0,y0), (x1,y1), ... zu einem Punkt konvergiert im Abstand von 1/2 des Ursprungs (0,0) (Beweis). Die (a,b)-Werte sind also Lösungen des Systems
x = x² - y² + a, y = 2xy + b und x² + y² = 1/4.
Das Fortschaffen der Größen x und y aus diesem System gibt die Gleichung
(a²+b²-1/16)² = ((a-1/4)²+b²)/4
Diese Gleichung ist die Gleichung einer Kardioide.
Die Punkte auf der Mandelbrotkardioide werden geometrisch folgendermaßen bestimmt.
Methode 1: Zeichne einen Kreis mit Radius 1/4 und Mittelpunkt (0,0). Der Punkt Q(1/4,0) liegt auf diesem Kreis. Eine Linie l durch Q schneidet den Kreis in Punkt R (und in Q). Die 2 Punkte der Linie l die im Abstand 1/2 von Punkt R entfernt sind, liegen auf der Mandelbrotkardioide.
Methode 2: Zeichne einen Kreis A mit Radius 1/4 um den Ursprung (0,0). Ein zweiter, gleich großer Kreis B, liegt rechts neben A und berührt Kreis A in Punkt P (P=(1/4,0)). Wenn Kreis B einmal um Kreis A rollt, wird Punkt P obenerwähnte Kardioide beschreiben.
Methode 3: Wenn Q=(1/4,0) und P ist ein Punkt auf der Kardioide und QP hat Länge r und der Winkel zwischen QP und die positive x-Achse ist , dann ist cos(180^o+) = 2r-1.



Besondere Eigenschaften der Mandelbrotmenge.

Klicke mal mit der Maustaste in das große kreisförmige Gebied (P₀) an der linken Seite der Kardioide und sodann einige Male auf das rechte Bild. Das rechte Bild zeigt die Werte (x₀,y₀), (x₁,y₁), usw. Bei jedem Klick wird den nächsten Punkt dieser Folge hinzugefügt. Man sieht dass es 2 Punte in der Ebene gibt wozwischen die (x_n,y_n)-Werte schwingen. Klicke nun auf das rote Quadrat im Südwesten des linken Bildes (reset) und dann irgendwo in dem Kreis (P₁) obenauf der Kardioide. Das rechte Bild zeigt dann dass es hier 3 Anziehungspunkte für die Folge (x₀,y₀), (x₁,y₁), .... gibt.
Wähle jetzt einen Punkt im größten Kreis (P₂) zwischen P₀ und P₁. Die Anzahl Anziehungspunkte ist hier 5. Wähle jetzt einen Punkt im größten Kreis (P₃) zwischen P₁ und P₂. Die Anzahl Anziehungspunkte ist hier 8. Bemerke dass die Anzahl Anziehungspunkte für P₀, P₁, P₂, ... die Fibonaccifolge 2,3,5,8,13,21,... bilden. Bemerke auch, dass in P₂ die 5 Anziehungspunkte in einem Kreis liegen, aber das die Punkte nicht der Reihe nach auf dem Kreis liegen. Wenn wir die 5 Punkte durchlaufen, dann wird 2 Mal um den Kreismittelpunkt gedreht. Für P₃ mit 8 Anziehungspunkten werden sogar 3 komplette Umdrehungen gemacht. Auch jetzt wird eine Fibonaccifolge gebildet, nähmlich, die Anzahl Umdrehungen für P₀,P₁,P₂,P₃,P₄,... sind 1,1,2,3,5,8,13,... .

Aber das ist noch nicht alles. Über Kreis P₂ (dem größten Kreis der sich zwischen den großen Kreisen an der linken Seite von der Kardioide und über der Kardioide befindet) befindet sich einen etwas kleineren Kreis und obendrauf befindet sich wieder einen 5-armigen Tentakel wovon ein Tentakel am kleineren Kreis befestigt ist. Die Anzahl der Anziehungspunkte von P₂ ist offenbar gleich der Anzahl Ärme des sonderbaren Tentakels dadrüben. Diese Eigenschaft gilt im allgemeinen: Die Anzahl Ärme die sichtbar ist über einem Kreis, der sich auf einem Kreis an der Kardioide befindet, ist gleich der Anzahl Anziehungspunkte des Kreises auf der Kardioide.
Was ist der Zusammenhang zwischen der Anzahl Anziehungspunkte eines Kreises auf der Kardioide und die vom Kreis auf diesem Kreis?



Zum Schluß

Eine besondere Eigenschaft: Es gibt eine Funktion f: A->B vom weißen Gebied im linken Bild (Das ist also die Menge (a,b)-Werte wobei die Folgen (x₀,y₀), (x₁,y₁),(x₂,y₂),... ins Unendliche davonlaufen) nach der Punktmenge des Aussengebietes eines Einheitskreises. Diese Funktion hat eine Umkehrfunction f^inv: B->A so dass für jeden Punkt p aus A und q aus B gilt f^inv(f(p))=p und f(f^inv(q)) = q. Diese Funktion hat eine interessante Eigenschaft; sie behält die Größe der Winkel , das heißt, wenn p,q und r Punkte sind aus A und der Winkel zwischen die Linien pq und rq ist z.B. 20^o, dann ist der Winkel zwischen f(p),f(q) und f(r),f(q) in B auch 20^o.

Aus dieser Eigenschaft kann man herleiten dass die Mandelbrotmenge aus genau einem Stück besteht und dass die Menge kein einziges Gebiet einschliesst dass nicht dieser Menge angehört.
Es gibt im Internet ganz viele Sites die sich mit der Mandelbrotmenge befassen mit oft wunderbaren Bildern.