Fibonacci op het dambord (6)
We gaan nu proberen alle getallen onder de damschijven op te tellen (in de beginstand). In de beginstand staan alle stenen achter de rode lijn.
Merk op dat 1 + µ + µ2 + µ3 + ... + µk < 1/(1 - µ) voor elke mogelijke k, ofwel
(1 - µ)(1 + µ + µ2 + µ3 + ... + µk) < 1.
Bewijsje: (1 - µ)(1 + µ + µ2 + µ3 + ... + µk) =
1.(1 + µ + µ2 + µ3 + ... + µk) - µ.(1 + µ + µ2 + µ3 + ... + µk) = {{uitschrijven}}
1 + µ + µ2 + µ3 + ... + µk - µ - µ2 - µ3 - ... - µk+1 = {{het meeste valt tegen elkaar weg}}
1 - µk+1 < 1. q.e.d.
We gaan eerst de getallen onder de "oneindige" driehoek berekenen (gevormd door diag. a, diag. b, enz).
De som van de getallen onder diag. a is kleiner dan 1/(1 - µ) zoals we zojuist bewezen hebben.
Als je alle getallen op diag. a met µ zou vermenigvuldigen, dan krijg je de getallen op diag. b. (even afgezien van de lengte van de diagonalen.)
