Fibonacci op het dambord (7)
Dus de som der getallen op diag. b = µ maal de som der getallen op diag. a, dit is < µ/(1 - µ).
Langs deze weg komen we tot de conclusie dat de som van de getallen onder diag. a, diag. b enz. kleiner is dan
1/(1 - µ) + µ/(1 - µ) + µ2/(1 - µ) + enz.
Brengen we de factor 1/(1 - µ) buiten haakjes dan levert dit (1/(1 - µ)).(1 + µ + µ2 + enz.) en dit is zoals we reeds weten altijd kleiner dan
(1/(1 - µ)).(1/(1 - µ)) = 1/(1 - µ)2.
Nu bekijken we de getallen onder diag. 1, diag. 2 enz.
Als we de getallen op diag. a met µ9 vermenigvuldigen, dan krijgen we de getallen op diag. 1. Dus de getallen op
diag. 1 zijn < µ9/(1 - µ).
De som van de getallen onder diag. 1 + diag. 2 enz. is dus kleiner dan µ9/(1 - µ) + µ11/(1 - µ) + µ13/(1 - µ) + enz.
Breng nu µ9/(1 - µ) buiten haakjes. Dat levert: (µ9/(1 - µ)).(1 + (µ2) + (µ2)2 + (µ2)3 + enz.).
Deze som is (ga na) < (µ9/(1 - µ)).(1/(1 - µ2)) = µ9/((1 - µ)(1 - µ2)).
Nu nog even alles bij elkaar tellen en de bovenste driehoek ervan af trekken:
De som van alle getallen onder de damstenen is 1/(1 - µ)2 + 2.µ9/((1 - µ)(1 - µ2)) -
1 - 2µ - 3µ2 - 4µ3 - 5µ4 - 6µ5 - 7µ6 = {{rekenmachientje}}
0,9... < 1.
