Een algemene formule voor Fn (Een combinatorische benadering) (slot)
Als er geen pad van lengte 8 ontstaat, dan is er een pad van lengte 7 ontstaan gevolgd door een steen van lengte 2.
Het aantal van zulke paden is F8, dus de kans dat
er geen pad van lengte 8 ontstaat is F8 p9.
We kunnen nu concluderen dat F9 p8 + F8 p9 = 1, en in het algemeen
Fn+1 pn + Fn pn+1 = 1 met p + p2 = 1 (ofwel p = (
5 - 1)/2 ).
Dan is (met r=1/p en s=-p) Fn+1 = rn + sFn.
Dus Fn+1 = rn + sFn = rn + rn-1s + Fn-1 s2 = ... =
rn + rn-1s + rn-2s2 + rn-3s3 + ... + sn =
(rn+1-sn+1)/(r-s) met
r = 1/p = (1 + 5)/2 en s = -p = (1 - 5)/2
