Berekeningsmethoden (8.2)
We bekijken nog enkele bewijsmethoden voor de formule:
Fn-1Fn+1 - Fn2 = (-1)n.
3.) Meetkundig. Een rechthoek van Fn-1 bij Fn is bevat in rechthoeken van Fn-1 bij Fn+1 en van Fn bij Fn.
Fn-1Fn+1 - Fn-1Fn = Fn-12
Fn2 - Fn-1Fn = Fn-2Fn
Deze twee vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft:
Fn-1Fn+1 - Fn2 =
-(Fn-2Fn - Fn-12)
4.) Bekijk een recht pad van 1 bij n-1 dat je wilt bedekken met stenen van 1x1 en van 1x2. Het aantal mogelijke bedekkingen is Fn. Het aantal bedekkingen voor 2 naast elkaar gelegen paden is Fn2. We zullen vanaf nu eisen dat we altijd minstens 1 tegel van 1x1 zullen gebuiken. Vanuit deze 2 paden van lengte n maken we nu een pad van lengte n-1 en een van lengte n+1 door te kijken in welk pad voor het eerst een tegel van 1x1 ligt. Is dat het linker pad, dan schuiven we de tegel in het andere pad ertussen, door horizontale verplaatsing. Is dat het rechter pad, dan verwisselen we deze 1x1 tegel met de 1x2 tegel in het andere pad door horizontale verplaatsing. We vinden zo dat Fn-1Fn+1 = Fn2 plus of min 1. Die 1 zit hem in het feit dat we eisten dat er een 1x1 tegel gebruikt moet worden.
