Kwadraten in de rij van Fibonacci (3)
We moeten nu een andere manier zien te vinden om verder te komen. De volgende methode zal tot resultaat
hebben dat ook de Fibonaccigetallen met index 12k-11, 12k-10 of 12k-1 niet
kwadratisch kunnen zijn. We houden dan alleen nog over de Fibonaccigetallen met index 12k.
Deze drie indices vatten we samen door te schrijven 12k+q met q = -1, 1 of 2 en
k≥0. Merk op: Fq = 1.
Het ligt voor de hand te kijken of we een van de vele formules kunnen gebruiken. We bekijken formule 15c.):
Fm+n + (-1)nFm-n = FmLn (*)
Voor m=6k+q en n=6k levert dit F12k+q + 1 = F6k+qL6k
Als F12k+q een kwadraat zou zijn (zeg x2), dan is x2 + 1
deelbaar door L6k. Alle delers van x2 + 1
zijn van de vorm 4m+1 of 2(4m+1) (bewijs), dus zou ook L6k die vorm moeten hebben.
Als ik kan bewijzen dat L6k niet die vorm heeft dan is bij gevolg
F12k+q géén kwadraat.
Helaas, L6k is altijd van de vorm 4m+1 of 2(4m+1).
