Een andere benadering (slot)
We zien hieraan dat de formule blijkbaar ook juist is voor n=4.
In het algemeen: Stel dat de formule juist is voor n=N, dan is de formule ook juist voor n=N+1, want:
vN+1 = FNv2 + FN-1v =
FN(v + 1) + FN-1v =
(FN + FN-1)v + FN =
FN+1v + FN.
We mogen dus wel concluderen dat de formule juist is voor alle n>=0.
r = (1 + 
5)/2 en s = (1 - 5)/2 zijn de twee oplossingen van de vergelijking
x2-x-1=0. Dus geldt:
rn = Fnr + Fn-1 en sn = Fns + Fn-1
Als we deze vergelijkingen van elkaar aftrekken krijgen we
rn-sn = Fn(r-s), ofwel
Fn = (rn-sn)/(r-s).
Het n-de Lucas-getal Ln wordt gedefinieerd door Ln = Fn+1 + Fn-1.
Dan is Ln = rn + sn.
