Fibonacci

F_24k+12 is deelbaar door 144 en niet door 288.

We maken gebruik van de formule:
F_pL_q + L_pF_q = 2F_p+q ( zie 15.) )

We bewijzen met volledige inductie dat F_24k+12 deelbaar is door 144 en niet door 288.
De hypothese is juist voor k=0, want F₁₂ = 144 is deelbaar door 144 en niet door 288.
Stel de hypothese is correct voor k=n. Dan:
Dus 2F_24(n+1)+12 = F_24n+12L₂₄ + L_24n+12F₂₄
F_24n+12 = 144*(2u+1) voor zekere u (volgens de hypothese met k=n).
L₂₄ = 103682 = 2*51841.
L_24n+12 = 2*(2v+1) voor zekere v (zie beneden).
F₂₄ = 46368 = 2*144*161.
Dus 2F_24(n+1)+12 = 144*(2u+1)*2*51841 + 2*(2v+1)*2*144*161 ofwel:
F_24(n+1)+12 = 144*((2u+1)*51841 + 2*(2v+1)161).
Dit getal is deelbaar door 144, maar niet door 288.
Dit toont aan dat de hypothese ook klopt voor k=n+1.
Blijkbaar is F_24k+12 deelbaar door 144 en niet door 288 voor elke k.



---

Bewering: Voor elke k is L_6k deelbaar door 2 maar niet door 4.
Met volledige inductie.
L₀ = 2, dus de bewering is juist voor k=0.
Stel n≥0 en L_6n = 2(2u+1) voor zekere u.
We willen aantonen dat L_6(n+1) = 2(2v+1) voor zekere v.
Formule 16.) zegt
L_pL_q + 5F_pF_q = 2L_p+q
Dus 2L_6(n+1) = L_6nL₆ + 5F_6nF₆ =
2(2u+1).18 + 5*F_6n*8.
Dus L_6(n+1) = 2*(9*(2u+1) + 2*L_6n) = 2*(2v+1) voor zekere v.
De bewering is dus ook juist voor k=n+1 en derhalve voor elke k.